一、正弦定理与面积公式
基本公式
知两边及其夹角，三角形面积可用正弦定理直接计算：
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= frac1}2}absin C = frac1}2}acsin B = frac1}2}bcsin A
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trong>推导：将三角形的高表示为 ( h = bsin C )，代入面积公式 ( S = frac1}2}ah ) 即可得出。
向量叉积形式
向量表示两边 (overrightarrowAB}) 和 (overrightarrowAC})，面积为：
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= frac1}2} |overrightarrowAB}
es overrightarrowAC}|
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于坐标系中已知顶点坐标的情况。
扩展形式
知多个角或多个边时，可利用正弦定理的比值关系：
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= fracc^2 sin A sin B}2 sin (A+B)} quad
t或} quad S = fraca^2 sin B sin C}2 sin (B+C)}
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于复杂三角关系求解。
二、余弦定理与面积计算
余弦定理公式
定理常用于求第三边或角度：
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2 = b^2 + c^2
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trong>应用：若已知三边，先通过余弦定理求角，再结合正弦面积公式计算面积。
海伦公式（三边已知）
余弦定理推导出的三边面积公式：
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= sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)} quad (p = fraca+b+c}2})
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trong>延伸：秦九韶公式 ( S = frac1}2}sqrta^2b^2
三、综合应用场景
已知两角及一边
正弦定理求其他边，再代入正弦面积公式。例如：
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aca}sin A} = fracb}sin B} = 2R quad (R
t为外接圆半径})
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( S = frac1}2}absin C ) 即可求解。
已知三边及多角
及多个角的关系（如 ( alpha + beta + gamma = pi )），可通过构造辅助线或使用向量叉积法简化计算。
四边形推广
定理可推广至四边形：
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2 = a^2 + b^2 + c^2
ta_1
ta_2 + 2bccos
heta_3
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正弦定理求对角线夹角进一步计算面积。
四、其他高阶公式
行列式法
知顶点坐标 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) )，面积为：
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= frac1}2} left| detbeginpmatrix} x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1 x_3 & y_3 & 1 endpmatrix} right|
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与向量叉积等价。
球面三角形面积
欧几何（如球面）中，余弦定理修正为：
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s a = cos b cos c + sin b sin c cos A
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需额外考虑球面曲率。
五、拓展资料与选择建议
灵活选择公式，可覆盖从基础到高阶的各类三角形面积计算需求。
