整式是代数学中的基础概念，指由常数、变量通过有限次加、减、乘及非负整数次幂运算构成的代数表达式，且分母不含变量。下面内容是其核心含义及要点：
一、定义与分类
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基本定义
整式是单项式和多项式的统称，属于有理式的一部分。其核心特征包括：- 不含分母中的变量（如$\frac1}x}$不是整式，属于分式）；
- 变量的指数为非负整数（如$x^-2}$或$x^1/2}$不属整式）；
- 运算限制：仅包含加、减、乘及非负整数次乘方。
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单项式
- 定义：由数与字母的积或单独的数/字母构成，例如$3x$、$-5$、$\pi ab$；
- 系数：单项式中的数字因数，如$3x$的系数是$3$，$-a$的系数是$-1$；
- 次数：所有字母指数的和，如$2xy$的次数为$4$（$3+1$），非零常数的次数为$0$。
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多项式
- 定义：若干单项式的代数和，如$x-3x+5$；
- 项与次数：每个单项式是多项式的项，不含字母的项为常数项；多项式的次数由最高次项决定，例如$x+2x$的次数为$3$。
二、核心性质
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运算制度
- 加减法：合并同类项（变量部分相同的项），系数相加减，例如$3x+2x=5x$；
- 乘法：
- 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘（如$(4x)(-3xy)=-12xy$）；
- 多项式展开：逐项相乘后合并（如$(x+1)(x-2)=x-x-2$）；
- 除法：单项式除以单项式时系数与幂分别相除，多项式除以单项式需逐项运算。
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易错点
- 单项式的系数包含符号（如$-a$的系数为$-1$）；
- 单项式的次数仅计算字母指数和，而多项式的次数是最高项次数；
- 系数为$1$或$-1$时可省略数字，指数为$1$时也常省略（如$x$写作$x$）。
三、应用与意义
整式是解决代数方程、几何难题（如面积/体积计算）及学说分析的基础工具。例如：
- 因式分解：将多项式拆分为简单整式的乘积（如$x-1=(x+1)(x-1)$）；
- 公式应用：利用平方差、完全平方等公式简化运算。
整式通过有限的代数运算构建数学关系，其结构清晰且制度明确。领会单项式与多项式的区别、掌握系数与次数的计算制度是进修后续内容（如方程、函数）的关键。
